Persamaan Linier

Persamaan Linier adalah salah satu persamaan dari ilmu aljabar dimana persamaan ini sukunya mengandung konstanta dengan variabel tunggal. Mengapa disebut linier, karena hubungan matematis ini digambarkan dengan garis lurus dalam sistem koordinat kartesius.

Definisi Variabel, Koefisien, Konstanta, dan Suku.¶

• Koefisien : Bilangan yang menjabarkan jumlah variabel yang sejenis. Koefisien ini terletak di depan variabel.

• Variabel : Pengganti bilangan yang belum diketahui nilainya. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf-huruf seperti a,b,c dan yang lain sebagainya.

• Konstanta : Nilai bilangan konstan yang tidak diikuti variabel di belakangnya.

• Suku : Bagian dari suatu persamaan yang terdiri dari variabel, koefisien, dan konstanta.

Sifat Persamaan Linier¶

Persamaan linier memiliki beberapa sifat, yaitu:

• Penjumlahan dan pengurangan bilangan kedua ruas tidak akan mengubah persamaan nilai.

• Perkalian dan pembagian bilangan kedua ruas tidak mengubah nilai persamaan.

• Nilai persamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi bilangan yang sama.

• Suatu persamaan jika dipindah ruas maka penjumlahan berubah jadi pengurangan, perkalian berubah menjadi pembagian, dan sebaliknya.

Jenis-Jenis Persamaan Linier¶

1. Persamaan Linier Satu Variabel

   Persamaan linier satu variabel hanya mengandung satu variabel berpangkat satu yang berpentuk kalimat terbuka dengan dihubungkan tanda =.

   Kalimat terbuka di sini berarti adalah kalimat yang belum tahu kebenaranya atau bisa jadi benar, bisa jadi juga salah.

   Bentuk umum dari persamaan Linear Satu Variabel:

   $$ax + b = 0$$

   (1)

   keterangan:

   a = koefisien

   b = konstanta

   x = variabel

   a dan b adalah bilangan riil

   a dan b bukan nol

   Namun, yang perlu digaris bawahi adalah variabel tidak selalu menggunakan lambang x, bisa jadi menggunakan y atau yang lainnya.

   $10x + 2 = 22 \quad x = \frac{22 - 2}{10} \quad x = 2$

   Maka nilai dari huruf x adalah 2.

2. Persamaan Linier Dua Variabel

   Sesuai dengan namanya, Persamaan Linear Dua Variabel merupakan sistem persamaan dengan variabel yang berjumlah dua dengan berpangkat 1. Persamaan linear dua variabel menggunakan relasi = dan tidak ada perkalian variabel di setiap persamaan.

   Bentuk umum dari Persamaan Linear Dua Variabel adalah:

   $$ax + by = c$$

   (2)

   Persamaan Linear Dua Variabel bisa diselesaikan dengan dua metode, yaitu metode substitusi dan metode eliminasi.

   Metode Substitusi digunakan dengan cara mengubah satu variabel dengan variabel persamaan lain. Sedangkan Metode Eliminasi dengan cara menghapus salah satu variabel dalam persamaan.

   Contoh sederhana:

   $2x + 4y = 12$

   $2x + 2y = 8$

   Berapa nilai x dan y?

   Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan metode subtitusi. Yaitu dengan cara pertama memilih salah satu persamaan.

   $2x + 4y = 12$

   Kemudian kita pindahkan satu variabel ke ruas lainnya.

   $2x = 12 - 4y$

   Untuk menghilangkan variabel x maka dibagi dengan nilai koefisien x.

   $\frac{2x}{2} = 12 - \frac{4y}{2}$

   $x = 6 - 2y$

   Jadi nilai x untuk sementara adalah 6 - 2y. Kemudian untuk mencari nilai y masukan ke dalam persamaan kedua.

   $2x + 2y = 8$

   $2(6 - 2y) + 2y = 8$

   $12 - 4y + 2y = 8$

   $-2y = 8 - 12$

   $-2y = -4$

   Untuk menghilangkan variabel ya maka dibagi dengan nilai koefisien y.

   $\begin{aligned} \frac{-2y}{-2} &= \frac{-4}{-2} \\ y &= 2 \end{aligned}$

   Setelah nilai y ditemukan kemudian masukan ke nilai x sementara tadi.

   $\begin{aligned} x &= 6 - 2y \\ x &= 6 - 2(2) \\ x &= 2 \end{aligned}$

3. Persamaan Linier Tiga Variabel Persamaan linear tiga variabel merupakan bentuk perluasan dari persamaan linear dua variabel. Sama seperti persamaan linear dua variabel, persamaan ini juga bisa diselesaikan dengan dua metode, yaitu substitusi dan eliminasi.

   Bentuk umum persamaan linear tiga variabel adalah:

   $$ax + by + cz = d$$

   (3)

   Contoh sederhana:

   $x + y + z = 8 \\ x + 2y + 2z = 14 \\ 2x + y + 2z = 13$

   Penyelesaian:

   $x + y + z = 8$

   Karena nilai koefisien dari x tidak ada, maka kita hanya perlu memindah dua variabel ke kanan.

   $z = 8 – x – y$

   Kemudian masukan persamaan salah satu persamaan.

   $x + 2y + 2 (8 – x – y) = 14 \\ x + 2y +16 – 2x – 2y = 14 \\ -x + 16 = 14 \\ -x = 14-16 \\ -x = -2 \\ x = 2$

   Setelah nilai x ditemukan nilai 2 masukan ke persamaan lainnya untuk menentukan y.

   $2x + y + 2z = 13 \\ 2(2) + y + 2(8 – 2 – y) = 13 \\ 4 + y + 16 – 4 – 2y = 13 \\ 20 – 4 – y = 13 \\ 16 – y = 13\\ -y = 13-16 \\ -y = -3\\ y = 3$

   Kemudian untuk menentukan nilai z, masukan nilai x dan y ke nilai z sementara tadi.

   $z = 8 – x – y \\ z = 8 – 2 – 3 \\ z = 3$

   Maka nilai x = 2, nilai y = 3, dan nilai z = 3

Contoh Soal Persamaan Linear¶

Si A membeli sebuah roti dengan harga Rp5.000. Berapa jumlah roti yang bisa dibeli oleh Si A jika dia membawa uang Rp50.000 dan ingin dihabiskan seluruhnya?

Jawaban:

$5000x = 50000 \\ x = 50000/5000 \\ x = 10$

Maka jumlah roti yang bisa dibeli oleh A adalah 10 potong.

============================================================

persamaan linear dan persamaan non linear

sistem persamaan linear adalah kumpulan dari dua atau lebih persamaan linear dengan variabel yang sama

contoh penulisan latex

example 1.2.8 pak mul

tugas

buat 4 persamaan 4 var yang nanti x1nya = 1 x2nya = 2 x3nya = 3 x4nya = 4