Tugas 5

Membuat operasi baris elementar 5 variabel dan 5 persamaan (eliminasi gauss)¶

$x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5$

Sistem persamaan Linear¶

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 15$

$2x_1 + 3x_2 + 2x_3 + 2x_4 + 2x_5 = 32$

$x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 2x_4 + 2x_5 = 32$

$x_1 + x_2 + 2x_3 + 3x_4 + 2x_5 = 31$

$x_1 + x_2 + x_3 + 2x_4 + 3x_5 = 29$

Matriks Augmanted:¶

Operasi Baris Elementer¶

1. Kolom 1 (Baris 1($R_1$))

Pakai baris 1 untuk menolkan elemen dibawah angka 1 pada kolom pertama.

• $R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$

  • $2 - 2(1) = 0$

  • $3 - 2(1) = 1$

  • $2 - 2(1) = 0$

  • $2 - 2(1) = 0$

  • $2 - 2(1) = 0$

  • $32 - 2(15) = 2$

• $R_3 \leftarrow R_3 - R_1$

  • $1 - 1 = 0,\; 2 - 1 = 1,\; 3 - 1 = 2,\; 2 - 1 = 1,\; 2 - 1 = 1 \;|\; 32 - 15 = 17$

• $R_4 \leftarrow R_4 - R_1$

  • $1 - 1 = 0,\; 1 - 1 = 0,\; 2 - 1 = 1,\; 3 - 1 = 2,\; 2 - 1 = 1 \;|\; 31 - 15 = 16$

• $R_5 \leftarrow R_5 - R_1$

  • $1 - 1 = 0,\; 1 - 1 = 0,\; 1 - 1 = 0,\; 2 - 1 = 1,\; 3 - 1 = 2 \;|\; 29 - 15 = 14$

Matriks:

2. Kolom 2 (baris 2($R_2$))

Pakai baris 2 untuk menolkan elemen di bawah angka 1 pada kolom kedua. Kebetulan hanya $R_3$ yang perlu diproses.

• $R_3 \leftarrow R_3 - R_2$

  • $0 - 0 = 0$

  • $1 - 1 = 0$

  • $2 - 0 = 2$

  • $1 - 0 = 1$

  • $1 - 0 = 1$

  • $17 - 2 = 15$

• (Baris 4 dan 5 sudah bernilai 0 di kolom kedua, jadi lewati saja).

Matriks:

3. Kolom 3 (Tukar($R_3$<->$R_4$) & Pivot)

Supaya tidak bertemu pecahan ($15 ÷ 16$), kita tukar $R_4$ dengan $R_4$ karena $R_4$ memiliki angka 1 di kolom ketiga.

• Tukar $R_3 \leftrightarrow R_4$

• $R_4 \leftarrow R_4 - 2R_3$

  • $0 - 2(0) = 0$

  • $0 - 2(0) = 0$

  • $2 - 2(1) = 0$

  • $1 - 2(2) = -3$

  • $1 - 2(1) = -1$

  • $15 - 2(16) = -17$

Matriks:

4. Kolom 4(Tukar($R_4$<->$R_5$))

• Tukar $R_4 \leftrightarrow R_5$

• $R_5 \leftarrow R_5 + 3R_4$

  • $0 + 3(0) = 0, \ 0 + 3(0) = 0, \ 0 + 3(0) = 0$

  • $-3 + 3(1) = 0$

  • $-1 + 3(2) = 5$

  • $-17 + 3(14) = -17 + 42 = 25$

Matriks :

Subtitusi Balik¶

• Mencari $x_5$:

  • $5x_5 = 25 \implies \mathbf{x_5 = 5}$

• Mencari $x_4$:

  • $x_4 + 2x_5 = 14$

  • $x_4 + 2(5) = 14 \implies x_4 + 10 = 14 \implies \mathbf{x_4 = 4}$

• Mencari $x_3$:

  • $x_3 + 2x_4 + x_5 = 16$

  • $x_3 + 2(4) + 5 = 16 \implies x_3 + 8 + 5 = 16 \implies \mathbf{x_3 = 3}$

• Mencari $x_2$:

  • Dari baris 2: $1x_2 = 2 \implies \mathbf{x_2 = 2}$

• Mencari $x_1$:

  • $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 15$

  • $x_1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$

  • $x_1 + 14 = 15 \implies \mathbf{x_1 = 1}$

Hasil :